El Problema de Plateau y Las Superficies Minimales

¿Qué formas puede adquirir una película de agua jabonosa?

Hay dos tipos de superficies que pueden formarse con jabón: las pompas, que son las que no encierran aire dentro, y las burbujas, que encierran aire en su interior.

La película jabonosa, por la fuerza de cohesión interna de las moléculas que la forman, tiende a tener el área mínima posible.

 Una pompa tiene la menor área posible.

Éste es el motivo por el que a las superficies que obtenemos como pompas de jabón se las ha dado el nombre de superficies minimales.

El Problema de Plateau

Joseph Plateau se dedicó a estudiar en detalle las propiedades de las pompas de jabón, por lo que al problema de encontrar qué pompa de jabón tiene por borde una curva dada se le conoce con el nombre de problema de Plateau.

La resolución matemática del problema, tardó mucho tiempo en llegar y no fue hasta mediados de los años 70 que las tesis de Plateau fueron demostradas.

Estas fueron sus conclusiones:

  • Es imposible que cuatro láminas de jabón se encuentren formando ángulos de 90º.
  • Si varias láminas de jabón se cortan, lo hacen de tres en tres y formando ángulos de 120º.
  • Si varias láminas de jabón se encuentran en un punto, lo hacen de seis en seis y formando ángulos “triedros” iguales. Los ángulos triedros son los ángulos tridimensionales, y se entienden como los formados en el vértice de un prisma y no se pueden medir, tal y como se hace con los ángulos de planos.
  • Una pompa tiene área menor que cualquier otra superficie cercana a ella.

 

Superficies Minimales

Catenoide: es una especie de cilindro más angosto en el centro que en los extremos.

Helicoide: Se llama así porque su borde exterior es una hélice.

Fueron encontradas en 1776-1785.

Durante más de 200 años se creyó que las únicas superficies minimales sin auto intersecciones y que se prolongan infinitamente eran el plano, el catenoide y el helicoide. En las últimas décadas se han encontrado multitud de ejemplos de superficies minimales.

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Glaciar

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